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sat数学之方差公式

2013-08-14 16:04 供稿单位: 新航道

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一．方差的概念与计算公式

　　例1 两人的5次测验成绩如下：

　　X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；

　　Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

　　平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

　　方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

　　单个偏离是

　　消除符号影响

　　方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

　　直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

　　这里是一个数。推导另一种计算公式

　　得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

　　其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动

　　二．方差的性质

　　1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

　　2． D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）；

　　证：

　　特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

　　3．若X 、Y 相互独立，则

　　证：记

　　则

　　前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

　　当X、Y 相互独立时，

　　，

　　故第三项为零。

　　特别地

　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

　　方差公式：

　　平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

　　方差公式：S²=〈(M－x1)²+(M－x2)²+(M－x3)²+…+(M－xn)²〉╱n

　　三．常用分布的方差

　　1．两点分布

　　2．二项分布

　　X ~ B ( n, p )

　　引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

　　，

　　3．泊松分布（推导略）

　　4．均匀分布

　　另一计算过程为

　　5．指数分布（推导略）

　　6．正态分布（推导略）

　　7.t分布 :其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/(n-2);

　　8.F分布：其中X~F（m,n）,E(X)=n/(n-2);

　　正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

　　例2 求上节例2的方差。

　　解根据上节例2给出的分布律，计算得到

　　工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

　　方差的定义：

　　设一组数据x1,x2,x3······xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1-x拔）²，（x2-x拔）²······（xn-x拔）²，那么我们用他们的平均数s2=1/n【（x1-x拔）²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

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